更新时间：2023-01-05 10:11
n维流形的概念，在J.L.Lagrange的力学中已经初见端倪，十九世纪中期，已经知道n维Euclid空间是n个实变量的连续统，但是一般n维流形的概念是B.Riemann研究微分几何学时引进的，他是用归纳法进行构造的。正如曲线的运动形成曲面一样，n维流形是把无限多个（n-1）维流形按照一维流形方式放在一起而形成的。流形的拓扑结构的研究与其局部理论的研究是同时开始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人应用的是解析方法，但是，Poincaré为了摆脱这种方法的困难与不利之处，将n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维Euclid空间同胚的邻域，并对之进行研究，从而开辟了组合拓扑学的道路。
在n维欧几里得空间中，由定义的半空间用表示。豪斯多夫空间M，当每点p具有与或同胚的开邻域U(p)时，称为n维拓扑流形。U(p)≈（同胚）的点p的全体∂M称为流形M的边缘，其补集称为M的内部，∂M=Φ的流形称为无边缘流形。
n维流形M的边缘∂M是n-1维无边缘流形。紧的无边缘的连通流形称为闭流形，非紧的无边缘的连通流形称为开流形。存在连通的但非仿紧的拓扑流形。一维的这种流形称为长直线。
圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1，圆心在原点的圆（单位圆）。若x和y是平面上的欧式坐标，那么单位圆的方程就是。
单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形，我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以，存在双射Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)：。
这样的一个函数称为一个局部坐标卡（local coordinate chart）。类似的，单位圆的下半圆，左半圆，右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆，我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集（atlas）。
注意上部和右部的坐标卡的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:。
这样的函数称为变换映射（坐标变换）。
从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。
上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡 和。这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率；t是镜像对称，其中心点为(1,0)。s到(x,y)的逆映射为。
我们很容易确认对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集，其变换函数为
。
注意每个坐标卡都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。
流形不必是连通的（整个只有一片），所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。
但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集。
拓扑流形：拓扑流形为最容易定义的流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间（或上半欧式空间）的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到（）。这些同胚是流形的坐标图。
微分流形：微分流形也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。