结论：我们可以把所有的方阵看成一个线性变换

1,2题的方阵记做D2

3,4题的方阵记做D3

5题的方阵记做D4

D2包含在D3中，D3包含在D4中

把所有的方阵记做Dn，Dn是可逆方阵Dn方阵十分容易构造（首先是一个上三角矩阵）

Dn还有如下特征

记Dn的逆矩阵为Fn

附上MATLAB中的构造程序

等差数列遵守 的形式，可规定，若b为数列的0项，则记为 ，k为数列的公差，记为d，y为通项公式，记为 ，则：

对应的求和数列为： ，其中 正整数。

若一个等差数列的首项为 ，末项为 那么该等差数列和表达式为：

即（首项+末项）×项数÷2。

注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）。等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为 首项，下底为 ，高为n。即： ，也可写成：

求解两个等差数列相乘的前n项和的公式:

（1）从通项公式可以看出， 是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)， 排在一条直线上，由前n项和公式知， 是n的二次函数(d≠0)或一次函数 ，且常数项为0。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出

(类似： ， )

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 ，

成等差数 列，等等。

若m+n=2p，则 。

证明： ;

因为m+n=p+q，所以 。

（4）其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为 。当 成等差数列时， ，所以 为 的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r，且任意两项 的关系为： ，(类似 )，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有 。则 。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了 的求和公式。

（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = + 的形式(其中a、b为常数)。

（2）在等差数列中，当项数为 时， ；当项数为 时， 。

（3）若数列为等差数列，则 …仍然成等差数列，公差为 。

（4）若数列 均为等差数列，且前n项和分别是 ，则 = 。

（5）在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)。

（6）记等差数列的前n项和为S。①若a＞0，公差d<0，则当a ≥0且 +1≤0时，S 最大；②若a＜0 ，公差d>0，则当a ≤0且 +1≥0时，S 最小。

（7）若等差数列Sp=q,Sq=p,,则Sp+q=-p-q,并且有ap=q,aq=p则ap+q=0。

（1） (d为常数、n ∈N*)或 ，n ∈N*，n ≥2，d是常数，等价于 成等差数列。

（2） 等价于 成等差数列。

（3） [k、b为常数,n∈N*]等价于 成等差数列。

（4） [A、B为常数，n ∈N* ]等价于 为等差数列。

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

即， 中。

例：数列：1，3，5，7，9，11中 ，即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中 。

即若项数为奇数，和等于中间项的2倍，另见，等差中项。

在等差数列 中，

(1)已知 ， 求 与d；

(2)已知 ， 求 。

解答：